2500年前的一天，古希腊哲学家毕达哥拉斯出去散步，经过一个铁匠，里面发出的铁打声比其他铁匠更和谐、更悦耳。 他走进商店，测量锤子和砧的大小，发现了一条规律。 声调和谐与发声体体积的一定比例有关。 之后，在弦上进行实验，发现将振动的弦按比例分开的话，1:2可以产生八度音，2:3可以产生5度，3:4可以产生4度等舒适的音程。 就这样毕达哥拉斯在世界上首次发现了音乐和数学的联系。 他接着发现声音质量的差异(例如长度、高低、重量等)取决于发音体的数量。 千百年来，研究音乐与数学的关系一直是西方受欢迎的课题，从古希腊毕达哥拉斯学派到现代宇宙学家和计算机科学家，受“整个宇宙都是和声与数”观念的影响，开普勒、伽利略、欧拉、傅立叶、哈迪等人曾研究过音乐与数学的关系。 数学几何结合哲学，渗透了西方人的一切精神生活，渗透了一切艺术领域，成为西方艺术的一大特色。 圣奥古斯丁留下了一句名言:“数据将世界变成通向我们心灵的音乐”。 现代作曲家巴托克、肖恩伯格、凯奇等人对音乐与数学的结合进行了大胆的实验。 希腊作曲家塞纳克斯( 1933~)创立了“算法音乐”，用数学方法取代了音乐的思维方式，作为创作过程的演算过程、作品名分为数学公式，例如，“S+/10-1.080262”作为10个乐器，计算于1962年2月8日。 马卡赫发展了施托克豪森的“图表音乐”(读和看的音乐)思想，以几何图形的轮流方式创作了“几何音乐”。
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“我们的世界可以由音乐音符构成，也可以由数学公式构成
数学是研究现实世界空间形式数量关系的科学，它已经从数学转变为符号体系的学问。 符号的使用使数学具有高度的抽象性。 音乐是研究现实世界的音响形式及其控制的艺术。 使用相同的符号体系，是所有艺术中最抽象的艺术。 数学印象单调枯燥无味，冷漠，音乐丰富有趣，充满感情和幻想。 从表面上看，音乐和数学是“绝缘”，风马牛不相称，其实不然。 德国着名哲学家莱布尼茨表示，“音乐作为其基础，在数学上的出现是直观的。 爱因斯坦说:“我们的世界可以由音乐音符构成，也可以由数学公式构成。”数学是以数字为基本符号的排列组合，它将事物量化，通过各种公式揭示了客观世界的内在规律。 音乐是以音符为基本符号的排列组合，是对于自然音响的抽象，通过连接这些符号的语法来组织它们，概括我们主观世界的各种活动，在抽象这一点上把音乐和数学结合起来，它们都是有限的反映，把握着无限。
数学和音乐位于人类精神的两个极端，一个人创造性的精神活动在这两个对立点的范围内发展，人类在科学和艺术领域创造的都分布在这两者之间。 音乐和数学是盛开在抽象王国的美丽花朵。 有了这两朵花，就能把握人类文明创造的精神财富。 被称为数学论之祖的希腊哲学家毕达哥拉斯认为“音乐之所以神圣而崇高，是因为它反映了宇宙的本质——数量的关系”。 世界上哪里有数，哪里就有美。 数学像音乐和其他艺术一样唤起人们的审美感觉和审美情趣。 数学家的创造活动参与了感情、意志、信念、希望等审美因素，数学家创造的概念、公理、定理、公式、法则可以感动人们，从中获得美好的乐趣，比如诗歌、音乐、绘画、雕刻、戏剧、电影。
古希腊的欧几里得在“几何学的基础”上构筑的几何体系被称为“雄伟的建筑”、“庄严的构造”、“高高的阶梯”。 那使多少科学少年成为神业！ 数学中美丽的公式就像但丁神曲的诗句，雷曼几何学和肖邦钢琴曲一样美丽。 读到某个函数能够演算成无限级数形式，你的心里顿时充满了人与天地并列的浩然之气。 当面对圆周率π=3.141592653……时，可能不会引起你的美丽，但当你知道这个数字表示你从未见过的时候，当墨盖成为星形的圆周长度与直径之比时，你就会佩服它 无限级数的和谐和对称性有着崇高的美，读它就像读数学诗，它就像飘在蔚蓝天空的白云，无边无际。 宋朝朱敬儒的名文所说的境界是:“夜来风钓线闲，上下是新月。 千里水天一色，看孤鸿闪烁。 ’他说
“数字1~7在音乐中是魔法数字
反观数的美也包含在音乐艺术中，验证了莱布尼茨的名言。 “音乐是数学在灵魂中无意识的计算”，古今中外的音乐是千姿百态，但众所周知由7音符(音名)构成，数字1~7在音乐中是不可思议的数字
数字1 :万物之本。 老子云:“道生一、一生二、二生三、三生万物”整个宇宙是多样和谐的整体。 这也是美感的基本法则，适用于包括音乐在内的所有艺术和科学。 古希腊数学家尼古马提倡“音乐是对立要素和谐的统一，统一杂多，和谐不和谐”。 简单来说，“一”变成“多”，“多”变成“一”的原理。 中国俗语也说“九九归一”。 文艺复兴以来五百年的专业音乐尽管在内容和形式上都有土壤差异，但都遵循这一原理。 发展音乐上多种音乐思想的手法，如重复、变奏、派生、展开、对比等，强调统一、强调变化、统一就是在统一中求变化、在变化中求统一。 单音是音乐中最小的“细胞”，一个单音在水平方向与旋律、节奏相连，在垂直方向与和弦合成。 乐段(一段体)是表达完全思索的最小结构单位。
数字2 :巴洛克、古典、浪漫音乐采用大小调整方式，形成音阶和音响的二元论( dualistic theory )。
数字3 :三个音以三度音程重叠成各种弦。 三和音是最常用的和声建筑材料。 爱因斯坦认为无论是音乐家还是科学家都有很强的愿望。 “总是想用最佳的方法描绘简化易懂的世界图像”数字“2”和“3”概括了音乐中最基本的拍子类型的2拍子和3拍子和曲子类型的2阶段式的3阶段式，t=d是开普勒行星运动的第三定律的数学公式，行星公转周期( t )的平方和太阳距离( d )的三次方相等 开普勒从非常杂乱的观测资料中发现了这个自然法则。 它非常简洁优美，被称为不可思议的“2”和“3”。 T2=D3感觉多么简单的美！
数字4 :人声自然分为四个部分，任何复杂的多部分音乐作品都能规范为四个和声。 我们平时弹的钢琴作品的曲式构造，几乎都是“古典四方体”的方正构造，4+4+4+4……小节是乐句，8小节是乐句。
数字5 :五度相生律(毕达哥拉斯律)和五度循环揭示了乐音组织的奥秘，和声五度关系法则是构建和声大厦的基础。
数字6 :六和音、六音阶、一组音阶以内有六音全音，常用调为主调和五近关系副调。
数字7 :更神秘，常用的七音阶由七音阶构成，巴洛克时代以前采用中古教会的七式，19世纪民族音乐派之后中古教会的七式被部分复兴。 太阳光谱由红、橙、黄、绿、蓝、蓝、紫七种颜色构成，以牛顿为代表的科学家对“七音”与“七色”的微妙对应关系进行了深入的探讨。 人体的生理结构可分为七个系统。 旧约中神创造世界花了7天，所以一周有7天。 甚至神话中的牛郎织女也选择了“七夕”(农历7月初的7晚)来见面。 化学元素是物质世界的基础，门德列夫发现的“元素周期表”结构图有7个横行，7个周期，7个主族，7个副族。 “斐波那契数列，黄金分割比例在音乐中的普遍应用
所有空间物体、图形简化、抽象为点―线―面―体几何图形，表现出数学统一和谐之美。 同样，钢琴作品也可以在此基础上进行简化和抽象化。 举例来说，横向时序分为短语-短语-封面的纵向空间序列或声级-音程-和弦-和弦的钢琴织物的层级分为单音单音部分一声部分层(或伴奏层)织物的类型。
一些数列广泛应用于音乐，例如等比数列1、2、4、8、16、32用于音符时值的分类和音乐曲式结构中的斐波那契数列用于黄金分割或乐曲的高潮设计。
斐波那契是13世纪意大利的数学家，1228年提出了兔子繁殖数量的问题。 “如果兔子一组，两个月后出生，每月出生一组，出生的兔子也是这样，不死的话，一年后有多少组？ ’和。 从此人们越来越关注这道数学题的奇异答案: 1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89…这是奇异的斐波那契数列。 该整数列具有三个特征: (1)任意相邻的两个个数，其中，第一个和第二个数的比率约为0.618，相邻的两个数的位置越近，比率越接近，称为黄金比率。 (2)任何相邻的三个个数。 前两个个数之和等于第三个个数。 例如，1+2=3、2+3=5、3+5=8等。 (3)任意相邻的三个个数。 第1个数和第3个数的乘积与第2个数的平方不同1。
从自然界到日常生活，存在斐波那契数列，存在黄金比例。 某花瓣数为斐波那契数:水仙花3瓣、水仙花5瓣、翠雀花8瓣、水仙花13瓣、紫苑花21瓣、菊花34、55或89瓣，向日葵花盘上有21个顺时针旋转形状和34个逆时针旋转形状的动物 昆虫翼对的数量在一定程度上可以发现符合这一数列的一些无机物质的原子序列、分子缔合的形式也接近这一数列。 人体的理想比例(最美的体型)应该是上半身和下半身(以脐为界)的比例符合黄金比例，例如模型的身高为1.618米，上半身为0.618米，下半身为1米。 进一步细分的话，上半身的黄金点在喉咙里，脸的黄金点在眼睛里，下半身的黄金点在膝盖里。
建筑物走廊柱子之间的比例，绘画，摄影构图的地平线分割，本体在画中的位置，书的长度和宽度比例如果符合黄金比例的话很美，变成1:1就不能融通，看起来很单调。 文学、戏剧和诗歌创作中的起、承、转、合原则是“转”是转、对比，是创作的关键。 “旋转”在整个结构部位接近黄金分割点。
斐波那契数列在音乐中得到了普遍应用，如常见的曲式类型与斐波那契数列的前几个数字一致，它们是简单的一段式、二段式、三段式和五段回旋式。 大型奏鸣曲式也是三部分结构，增加前奏和末尾从三部分结构演变为五部分结构。 黄金分割比例与音乐高潮的位置关系密切。 我们分析了许多着名的音乐作品，发现其中高潮的出现接近黄金分割点，位于偏离结构中点的位置:小型曲式中的8小节一段式，高潮点约为5小节左右(见本教程曲44，前8小节乐节)。 16小节二段式，高潮点约为10小节，24小节段再现三段式，高潮在15小节前后。
该教程曲46《梦幻曲》是再现了由a、b和a '三段组成的三段曲的曲子。 每个段落由等长的两个四小节短语组成。 全曲共分六句、二十四小节。 理论计算金分割点是14小节( 24×0.618=14.83 )，正好符合全曲的高潮。 一部分乐曲从整体到各个部分符合黄金比例，本曲的6个短语在各自的第2小节中被负相分割(前后长度)的本曲的3个部分a、b、a在各自的第2短语的第2小节中被正相分割(前后短)，形成从乐曲整体复合分割为各个局部的多层的生动的局面 大、中型曲式中奏鸣曲式，多三段曲式是三部分结构，在其它变奏曲、旋曲和一些自由曲式中存在一定程度的三部分因素. 黄金比例的原则在这些大中型曲中也有一定程度的表现。 一般来说，曲式的规模越大，黄金分割点的位置延迟到中部和发展部之后，进而延迟到再生部的开始，从而能够得到更强的艺术效果。 如该教程曲目64莫扎特《d长调奏鸣曲》的第一乐章全长160小节，播放部位于第99小节，不偏向黄金分割点( 160×0.618=98.88 )。 根据美国数学家乔巴斯的统计，莫扎特钢琴奏鸣曲的94%符合黄金分割比率，这一结果令人惊讶。 莫扎特是有意识地将自己的歌曲适应黄金分割，还是纯粹的直觉的偶然现象，这一点并不明显。 但是另一位美国音乐家。 “我们必须知道，创作这些不朽作品的莫扎特，也是喜欢数字游戏的天才。 莫扎特知道金子的分割，有意识地运用它。 ’他说
贝多芬的《悲怆奏鸣曲》Op.13第二乐章是歌曲般的慢板，旋转式，全曲73小节。 理论计算金分割点为45小节，在43小节中形成全曲激越的高潮，伴随着调子、调子的转换，高潮与金分割区基本一致。
肖邦的《降d长调夜曲》是三部性曲式。 无前奏的前奏76小节，理论计算金分割点位于46小节，再现部位恰好位于46小节，是全曲力最强的高潮，夺走天才。
拉赫曼尼诺夫的《第二钢琴协奏曲》第一乐章是奏鸣曲式的，宏伟的史诗。 最初的部分是表示部分长，刚毅的主部分和明亮的抒情的副部分鲜明地对比。 第二部分是发展部，结构紧凑，主部、副部和引子材料不断交错，形成巨大的声流，音乐爆发的是第三部分再生部的开始，是乐章整体黄金分割点，不愧是体现黄金分割规律的典范。 此外，这部协奏曲的部分在许多地方符合黄金比例。
我们再举一个大交响乐的例子，俄罗斯伟大的作曲家李姆斯科尔萨科夫是他的《千年夜谭》交响组曲的第四乐章，在辛巴德写的航船汹涌的狂涛中，青铜骑士像猛撞在某个峭壁上的瞬间，整个乐队在震耳欲聋的声音中，乐队强有力的锣鼓声 随着哪个声音延长了6小节，那个声音消失，整个乐队的力量急速下降，象征着那个破坏了的航海船的沉没。 在全曲最高潮的“黄金点”，锣的致命一击带来的悲剧效果震撼人心。
黄金法则自古以来就染上华丽而神秘的颜色，是被称为“天然合理性”的最美丽形式的比例。 世界上到处都有美，我们的眼睛，尤其是我们学习音乐的人的耳朵里，“美到处都有，不是缺少美，而是缺乏发现”(罗达语)。
(蔡松琦、蔡幸子着《钢琴宝典》华南理工大学出版社2001年7月第1版，《快乐的数学》编辑整理，小标题由小编辑加入)
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“毕达哥拉斯在世界上首次发现了音乐与数学的联系
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